1引言
盾构隧道管片设计包括结构设计与构造设计两大方面的内容，前者从隧道结构力学分析的角度出发，主要为满足隧道结构安全性的要求；后者旨在满足管片拼装施工工艺和盾构隧道使用功能等方面的要求，其中包括管片环的内外径、宽度、分块及管片尺寸等诸多内容。针对管片设计的研究，主要集中在隧道结构的力学分析；偶有涉及管片构造设计的文献，大多仅结合工程实践对管片环内外径、宽度及分块等内容作经验性的阐述。而作为构造设计重要内容之一的管片尺寸，迄今尚未见相关的较为系统的论述。
目前盾构隧道管片尺寸设计普遍采用AutoCAD等辅助设计软件作图的方法来完成，其中既有二维作图也有三维作图。采用二维作图在确定楔形环封顶块尺寸时，通常对纵缝的有关几何性质作近似处理，因此会有一定的误差；而采用三维作图虽然可得到精确解，但其过程更为麻烦。不论采取哪种作图方式，由于部分参数选择和具体画法相对自由，一旦在设计过程中出现错误，校核者很难通过作图的方法发现并修改，除非按设计者的思路重作一遍，由此给设计工作带来很多困扰。鉴于上述情况，本文根据解析几何知识结合管片构造特点推导了管片尺寸相关的解析公式并整理出一套较为完整的解析方法。采用该解析方法既可得到管片尺寸的精确解（可通过与三维作图的结果相互对比验证），也能通过程序计算大幅度提高设计效率，还便于校核采用作图方法得到的结果。
2管片构造设计参数
管片构造设计应满足管片拼装施工工艺和盾构隧道使用功能两方面的要求，其中包括管片环的内外径、宽度、分块、楔形量以及封顶块的拼装方式等内容。
总体而言：
（1）管片环内外径源于盾构隧道的内净空要求，是管片构造设计的基本要素；
（2）管片环宽度主要受隧道断面大小的影响，在满足运输和拼装的条件下宜取较大值，有利于减少接缝和加快施工速度；
（3）管片环一般由数块A型管片（或称标准块）、两块B型管片（或称邻接块）和一块可在最后在顶点附近封顶的K型管片（或称封顶块）组成，管片环分块也与隧道断面大小有关；
（4）设置管片环楔形量旨在管片环排版过程中实现曲线拟合及蛇形纠偏的功能，在满足此功能的条件下取较小值为宜；
（5）关于封顶块的拼装，国内普遍采用先搭接一定宽度径向推上后轴向插入的方式，搭接宽度与盾构机千斤顶行程的大小有关。
以国内地铁工程某盾构隧道为例，列举管片构造的基本参数如表1所示。在明确上述相关参数之后，即可采用作图法或解析法完成管片尺寸设计。
表1 盾构隧道管片构造基本参数
3管片尺寸解析公式
3.1尺寸计算
以管片环为参照建立三维直角坐标系如图1所示，图中：R1为管片环内半径，R2为管片环外半径，W为管片环楔形量，δ为管片环基准宽度。对相同的参数定义，文中不作重复解释。
根据图1列相关数学方程，包括内弧面方程、外弧面方程、环缝面方程和纵缝面方程。
图1 管片环参照直角坐标系示意
内外弧面为以Z轴为轴线的圆柱面，其方程如式（1）：
x2+y2=Ri2
式中：下标i为弧面编号，i=1或2，分别表示内弧面或外弧面，下同。
环缝面为平行于Y轴的平面，其方程如式（2）：
z=kjx+bj
式中：下标j为环缝面编号，j=1或2，分别表示背千斤顶环缝面或迎千斤顶环缝面，下同；以双面楔形（图1）为例，k1=-δ/(4R)，b1=-W/2，k2=δ/(4R)，b2=W/2。
纵缝面亦为平面，其方程采用一般式，如式（3）：
Akx+Bky+Ckz+Dk=0
式中：下标k为纵缝面编号，k=1~6，从X轴正向逆时针依次排序，下同。
按式（3）确定系数和常数项可分两种情况：一种为标准块与邻接块或两个标准块之间的纵缝面（k=1，4，5，6），该平面通过Z轴与XY平面垂直；另一种为邻接块与封顶块之间的纵缝面（k=2，3），该平面与XY平面不垂直。
对上述第1种情况，由平面方程系数及常数项组成的向量：
式中：θk为纵缝面k的方位角，k=1，4，5或6。
对上述第2种情况，为便于分析，以直线环（δ=0）为例阐述推导过程；楔形环（δ≠0）的纵缝面与直线环相同，故结果同样适用于楔形环。
如图2所示，鉴于环缝面EFNM（j=1）与E′F′N′M′（j=2）均垂直于Z轴，假定相应交线方程如式（5）所示。另外值得一提的是，采用平面作图的方式往往需要将图2中空间曲线段EE′,FF′,NN′和MM′（均为椭圆线中最平缓的一段）按直线段近似处理，所以无法求得精确解。
图2 封顶块线面几何关系
式中：当下标j=1且k=2时，表示背千斤顶环缝面与纵缝面2两者的交线NF，以此类推；n1,2=n1,3=-W/2，n2,2=n2,3=W/2，根据需要，nj,k也可按其它合适的特征剖面取值，比如z=0代表中剖面；纵缝面NFF′N′（k=2）、EMM′E′（k=3）分别与两个平行的环缝面相交，根据平行平面的性质可知，交线NF、N′F′（或ME、M′E′）相互平行，故有l1,2=l2,2，l1,3=l2,3；再根据封顶块构造的对称性可知，l1,2=-l1,3，m1,2=m1,3，m2,2=m2,3。
需要说明的是，式（5）中lj,k和mj,k需要通过试值确定以满足构造要求，详见下文3.2相关内容；试值可通过简单作图或相应解析公式获得。
按式（5）拟定交线方程后，可进一步确定求得相应纵缝面方程的系数和常数项，如式（6）：
显然，式（4）为式（6）在m1,k=m2,k=0时的特殊情况，表明式（6）同样适用于标准块与邻接块或两个标准块之间的纵缝面（k=1，4，5，6）。
联立式（1）、（2）、（3）并求解可得管片接缝交点坐标，如式（7）
式中：当下标i=1，j=2且k=3时，表示内弧面、迎千斤顶环缝面与纵缝面3三者的交点，以此类推；有一组根为虚根，应舍去。
根据计算的管片接缝交点坐标，可进一步得出设计需要的管片弧长、弦长及宽度等构造尺寸。
3.2构造要求
在如表1确定管片基本参数之后，管片构造设计的重点在于设定封顶块两侧的纵缝面，亦即式（5）中的和；鉴于目前国内普遍采用封顶块先径向推上后轴向插入的拼装方式，纵缝面相关参数的合理性需考虑的因素主要有：纵向插入角度α、环向接缝转角β和径向拼装间隙δ，如图3所示；根据两点距离公式和三角函数关系可得相关函数表达式，形如α=f(lj,k,mj,k)，β=g(lj,k,mj,k)，δ=φ(lj,k,mj,k,L)（式中，L为盾构机千斤顶行程，如图3所示，其中L0为搭接宽度），具体的数学表达过于繁冗，本文不作列举。在不妨碍管片拼装的情况下，α，β，δ值小一些为好；根据国内中等直径盾构的经验取值，在多数情况下，α=16°~18°，β≤3.5°~4.0°，δ=15~20mm。
3.3尺寸校核
在设计完成之后，管片构造尺寸校核的重点是封顶块两侧的接缝交点坐标，即验证每处纵缝的4个交点是否位于同一平面且两侧纵缝平面及是否关于YZ平面对称。
图3 封顶块拼装及构造要求示意
对于直线环（δ=0），取两侧纵缝8个交点（参见图2）的设计坐标代入式（5）核算即可，符合该式各项条件的即证明设计无误，个别不符的交点坐标也可通过相互对比后发现并修改。
对于楔形环（δ≠0），任取一侧纵缝的三个交点坐标代入式（8）求得对应的平面方程，共计C34=4个平面方程，若一侧4个平面方程完全相同且两侧纵缝面方程的法向量关于YZ平面对称即证明设计无误，否则各平面方程应分别代入式（5）中的z=nj,k求得相应的y=lj,kx+mj,k，再按上述直线环（δ=0）的方法找出个别不符的交点坐标并修改。
4管片尺寸有关算例
4.1设计算例
某工程盾构隧道管片衬砌环类型为直线环，与左右转弯环组合，管片构造图及基本参数分别如图1和表1所示[7]；限于篇幅，以左转环的纵缝2为例简要说明盾构管片尺寸计算过程如下：
根据式（1）、式（2）描述的几何关系可得相关参数，R1=6000/2=3000；R2=6700/2=3350；
k1=-36/4/3350=-0.003；k2=36/4/3350=0.003；
b1=-1500/2=-750；b2=1500/2=750。
将上述相关参数代入式（7）可得与纵缝2相关的4个交点坐标如表2所示。
表2 某工程盾构隧道管片环纵缝2交点坐标
同法可得其它接缝交点的坐标，进而求得设计需要的管片弧长、弦长及宽度等构造尺寸。上述解析方法结合自编计算程序曾应用于深圳、东莞等地铁工程的盾构管片构造设计，实践证明相关的算法及公式准确无误。
4.2校核算例
某工程盾构管片环封顶块位于X轴负向（参见图1，封顶块位于Y轴正向），封顶块两侧接缝交点坐标如表2所示，采用解析方法校核及分析的具体过程如下：
针对纵缝面3的4个接缝交点（交点编号分别为1~4），依次按交点编号组合123、124、134及234的顺序每次选取3个交点，坐标代入式（8）可得相应的平面方程，共计4个平面方程；由该方程的系数及常数项组成的向量[A3B3C3D3]经平面法向量单位化，分别为：[0.1290.981-0.1480.000]、[0.1340.980-0.14813.940]、[0.1290.980-0.149-0.785]、[0.1340.980-0.14914.724]。鉴于4组向量各不相同，亦即4个接缝交点不在同一平面上，故可知设计坐标有误；另由于坐标偏差一般相对较小，所以平面法向量的数值差别不大，差别主要体现在D3值。
表3 某工程盾构隧道管片环封顶块两侧接缝交点坐标
针对纵缝面4的4个接缝交点（交点编号分别为5~8），同法可得4组由平面方程系数及常数项组成的向量，均为[0.129-0.981-0.1480.000]；经与上述纵缝3的计算结果对比可以发现，两个纵缝面均通过坐标原点（D3=D4=0），且交点编号为4的坐标有误，再按正确的纵缝面方程代入式（7）可得正确的坐标为（-2957.9，501.0，740.6）。
5结语
本文根据解析几何知识结合管片构造特点推导了管片尺寸相关的解析公式并附有算例，形成一套较为完整的解析方法。其中的解析思路和大致过程如下：首先以管片环为参照建立三维直角坐标系，分别列出管片环内外弧面的圆柱面方程、环缝面及纵缝面的平面方程，联立三方程并求解即得管片接缝交点坐标；其次结合三点式平面方程给出了接缝交点设计坐标的校核方法。
分析表明，与传统的作图方法相比，解析方法既可得到管片尺寸的精确解，也能通过程序计算提高设计效率，还便于校核采用作图方法得到的结果。此外该解析方法曾应用于深圳、东莞等地铁工程的盾构管片构造设计，实践证明相关的算法及公式准确无误，可供管片构造设计参考。
作者：杨群 谢立广
转自《现代隧道技术》