0 引言
近年来，我国城市轨道交通和水下隧道建设得到了快速发展，并取得了显著的成就。其施工工法中，盾构法占有主导地位。管片接缝防水是盾构法隧道的一项重要研究内容。采用EPDM 橡胶材料制作弹性密封垫用来防水，是目前盾构隧道防水的主流方法，但在高烈度区修建隧道时，对防水设计提出了更高要求。为节省成本和提高效率，目前的弹性密封垫设计，一般先采用有限元方法进行仿真分析优化，然后进行试验验证。要得到正确、合理的有限元分析结论，必须先对EPDM 橡胶材料的本构模型及其参数进行研究。
橡胶材料具有超弹性、非线性和近乎不可压缩的性质，一般采用应变能密度函数来描述其本构关系。基于统计热力学，把橡胶看成是许多不规则长链分子的组合体。Treloar 将高斯统计学应用于高分子网链中来描述橡胶材料的宏观行为，得出一个基于统计学的描述橡胶变形的应变能密度函数式［1］。这种统计模型不能描述分子链的全部伸展过程，只能近似预测小变形的情况。为克服此种局限，后来的研究基本采用非高斯统计学理论。其中Arruda 和Boyce 提出一种八链分子网络模型，得出一个与试验数据符合更好的应变能密度函数式［2］。而另一种思路是基于连续介质力学，把橡胶看成是一种各向同性的不可压缩弹性体。Mooney 最早得出一个应变能函数式［3］，后来被广泛采用。Ｒivlin 推导出一个更一般的偶次幂的多项式应变能密度函数［4 － 5］，而Mooney 的成果只是它的一种简单特例。Yeoh 通过试验研究建议应变能密度函数不包含第二应变不变量，并提出一个三次应变能密度函数式，能够描述剪切模量的变化［6］。Gent 从唯象法出发提出一个考虑了分子链极限伸长率影响的新模型［7］，之后Boyce 把Gent 的新模型应变能密度函数式中自然对数项展开，得到一个只包含第一应变不变量的缩减多项式［8］，它是Yeoh 应变能密度函数式的扩展。此外，与分子链极限伸长率有关的具有较大影响的模型还有Kilian 建立的van der Waals 模型［9 － 10］。前述模型的应变能函数式均是应变不变量的函数，而Ogden 认为这样做是将问题复杂化，他提出一个直接采用伸长率作为自变量的应变能函数式［11］，后来应用较广。国内也有学者对前述模型进行了改进研究［12］，但目前尚未得到普遍关注。
综上可知，已有对橡胶材料本构模型的研究较多，并取得了一些成果，但目前还没有得到一个对各种试验数据均较为符合的理想模型。针对盾构防水常用的EPDM 橡胶材料，尚未见关于本构模型及对应参数选取方法的研究报道。本文通过单轴压缩和单轴拉伸试验，旨在合理确定盾构防水中几种常用硬度的EPDM 橡胶材料的本构模型及其参数，以便为弹性密封垫设计中有限元分析提供可靠的材料参数基础资料。
1 本构模型
1． 1 基于热力学统计的本构模型
该领域应用较广的本构模型有Arruda － Boyce 模型［2］，其应变能函数式为
式中: U 为应变能密度函数; I－1为第一偏应变不变量; Jel为弹性体变率; μ、λm、D 均为待定材料系数。
1． 2 基于连续介质的现象学的本构模型
该领域应用较广的本构模型较多，其应变能函数式如下。
1) Ｒivlin 多项式模型［4 － 5］。
式中: U 为应变能密度函数; I－1和I－2分别为第一和第二偏应变不变量; λ－i( i = 1，2，3) 为偏伸长比; λi( i =1，2，3) 为主伸长比; J 为体变率; Jel为弹性体变率; Jth为热体变率; εth为线性热膨胀应变; Cij和Di均为待定系数。
2) 缩减多项式模型。当考虑应变能函数与I－2无关时，则式( 2) 调整为
式中μi、αi、Di均为待定材料参数。
6) van der Waals 模型［9 － 10］。
式中μ、λm、α、β、D 为待定材料系数。
1． 3 应力－ 应变关系
橡胶材料应力－ 应变关系为: 假设材料完全不可压缩( 弹性体变率Jel = 1) ，则
式中: σij为应力张量; εij为应变张量。
2 试验
橡胶材料试验可分为单轴试验、双轴试验、平面试验和三轴试验。上述每类试验又可分为拉伸和压缩2种。本次试验采用CMT4304 型微机控制电子万能试验机，对盾构防水中常用的几种硬度EPDM 材料进行多样品的单轴拉伸和单轴压缩试验，见表1 和图1。单轴拉伸试验按照文献［13］中1 型试样的要求实施，单轴压缩试验按照文献［14］中A 法的要求实施，为消除摩擦对橡胶横向变形的约束作用，样品两端均涂抹了润滑剂。
图2—9 示出不同硬度橡胶单轴拉伸试验和单轴压缩试验结果。可以看出: 同类试验同一硬度的3 个样品具有良好的一致性; 随着橡胶硬度增大，产生同样大小的名义应变，所需的力越大。
表1 试验样品统计表
图1 试验样品
图2 邵尔硬度为45 HA 的EPDM 橡胶单轴拉伸试验
图3 邵尔硬度为55 HA 的EPDM 橡胶单轴拉伸试验
图4 邵尔硬度为60 HA 的EPDM 橡胶单轴拉伸试验
图5 邵尔硬度为65 HA 的EPDM 橡胶单轴拉伸试验
图6 邵尔硬度为45 HA 的EPDM 橡胶单轴压缩试验
图7 邵尔硬度为55 HA 的EPDM 橡胶单轴压缩试验
图8 邵尔硬度为60 HA 的EPDM 橡胶单轴压缩试验
图9 邵尔硬度为65 HA 的EPDM 橡胶单轴压缩试验
3 数据分析
有限元软件ABAQUS 具备分析材料试验数据并确定其本构参数的功能，具体分为2 项内容: 1) 通过数据拟合，确定本构参数; 2) 评价这些参数确定的本构模型材料的稳定性。
3． 1 数据拟合
试验数据中，每个名义应变会单独对应1 个名义应力，这样1 对数据代入式( 8) 就得到1 个方程，如有n 对数据，就得到1 个由n 个方程组成的方程组，当n大于方程组中的未知待定材料参数时，利用最小二乘法确定模型的最佳参数［13］。
图10—13 为不同硬度橡胶的试验数据与本构模型的拟合图，其符合程度分级统计见表2。试验结果显示: 对邵尔硬度为65 HA 的EPDM 橡胶，只有Mooney － Ｒivlin 模型能够较好地模拟; 对其他硬度材料，Yeoh、Arruda － Boyce 和van der Waals 模型均能较好地模拟。Ogden 模型对所有材料均表现不佳。
图10 邵尔硬度为45 HA 的EPDM 橡胶试验数据拟合图
图11 邵尔硬度为55 HA 的EPDM 橡胶试验数据拟合图
图12 邵尔硬度为60 HA 的EPDM 橡胶试验数据拟合图
图13 邵尔硬度为65 HA 的EPDM 橡胶试验数据拟合图F
表2 样品试验数据与本构模型符合程度统计表
3． 2 材料稳定性
采用本构模型所描述的材料，必须满足材料稳定性( 应力增加，应变随之增加) Drucker 公设，即: dε 为任意无穷小的对数应变，对应的应力为dσ，要求满足
在Abaqus 中，将6 种不同的荷载形式( 单轴拉伸和压缩、双轴拉伸和压缩、平面拉伸和压缩) 按不等式( 12) 检验材料稳定性，检验的伸长比范围为0． 1 ＜λ1 ＜ 10，步长为Δλ1 = 0． 01。
表3 为材料稳定性统计表。从表可知，只有Arruda － Boyce 模型对各种硬度的EPDM 橡胶不具有稳定性限制，而对于其他各模型，一般均要求应变在一定范围内才能满足材料稳定要求。
表3 材料稳定性统计表
3． 3 分析结论
在满足稳定性的条件下，选择与试验数据拟合最好的模型，针对不同硬度的EPDM 橡胶，建议采用的模型及其非零参数统计见表4。
表4 建议模型及其非零参数统计表
4 结论和讨论
1) 通过试验并采用ABAQUS 有限元软件对试验数据进行分析，给出4 种常用硬度的EPDM 橡胶材料的推荐本构模型及其参数。对邵尔硬度为45 HA 和60 HA 的EPDM 橡胶，建议采用Arruda － Boyce 或vander Waals 本构模型; 对邵尔硬度为55 HA 的EPDM 橡胶，建议采用Arruda － Boyce 或Yeoh 本构模型; 对邵尔硬度为65 HA 的EPDM 橡胶，建议采用Mooeny －Ｒivlin 本构模型。
2) 针对具体某项工程，设计盾构防水弹性密封垫，可先采用有限元进行仿真分析，初步确定其几何参数和材料，然后制样验证。进行有限元分析时，可采用本文推荐的材料本构模型及其参数。
3) 本文提供了一种盾构接缝防水EPDM 密封垫本构模型选取的解决方案及思路，可供类似工程开展防水设计借鉴和参考; 但由于本文仅提供了4 种常用硬度EPDM 橡胶的本构模型的选取指导意见，后续尚需开展更多试验研究及论证，据以考虑更多硬度及其他影响因素。
摘自：隧道建设